О мнимом тождестве неразличимых объектов
Тождественны ли два полностью идентичных по своим как внутренним, так и внешним свойствам объекта?
‘Isn’t it logically possible that the universe should have nothing but two exactly similar spheres?’
Max Black The identity of indiscernibles’, Mind Vol. LXI No 242 (1952), 153-64.
Можно ли представить два идентичных объекта?
Если задуматься над вопросом, могут ли существовать два во всем идентичных объекта, то чувство здравого смысла подскажет нам, что это невозможно. Действительно, если задуматься, свойства любых объектов бывают двух видов — свойства внутренние (intrinsic property) и свойства относительные (relational property). Чтобы представить два таких объекта, необходимо чтобы абсолютно все их свойства, обоих видов, совпадали.
Таким образом, даже если мы представим любые первые пришедшие на ум два идентичных объекта из мира, каким мы его знаем в рамках современной физической теории: два одинаковых атома или элементарных частицы, они не будут идентичными, хотя бы потому, что их положение в пространстве будет разным и их относительные свойства (свойства относительно других объектов) будут разными.
Родившийся в Российской Империи британско-американский философ XX века Макс Блэк сформулировал в своей замечательной работе “The identity of indiscernibles”, написанной в духе сократовского диалога, вопрос о логической возможности существования таких объектов. Он придумал контрпример — вселенную, в которой ничего бы не существовало, кроме двух абсолютно идентичных сфер. Будет ли такая вселенная логически возможной? Если да, то принцип тождества неразличимых будет нарушен. Для начала, определим, что означает логическая возможность, что означает идентичность объектов и что такое принцип тождества неразличимых.
Утверждение называется логически возможным, если оно не является противоречивым и из него не следует противоречие. Объекты называются идентичными (неразличимыми), если все их свойства совпадают. Принцип тождества неразличимых состоит в тождестве любых двух объектов, чьи свойства совпадают. Заметим, что обратное, очевидно, верно, если два объекта тождественны, то они неразличимы, то есть все их свойства совпадают. Если самое меньшее ненулевое четное число тождественно числу 2, то свойства числа 2 и свойства этого числа совпадают. Верен ли принцип тождества неразличимых? Допустим, свойства объекта A и свойства объекта B совпадают, причем как свойства внутренние, так и свойства относительные. Можем ли мы автоматически утверждать, что объект A и объект B — один и тот же объект?
Макс Блэк утверждал, что мы не можем так утверждать и привел свой контрпример со вселенной, где существуют только две идентичные сферы. Рассмотрим логику этого примера. Сферы сделаны из одного и того же вещества, они идеальны в смысле своей и своих частей неподвижности, то есть аргументы о хаотичном движении атомов здесь не применимы. Более того, такая вселенная обладает свойством абсолютной симметрии по любому из отрезков относительно центра отрезка, соединяющего центры двух сфер, то есть относительные свойства положения этих сфер относительно друг друга совпадают. Сфера A удалена от сферы B таким же образом и на такое же расстояние, что и сфера B удалена от сферы B. Относительно же их абсолютных координат у нас нет никакой информации, чтобы выделить координаты сферы A или B, все свойства каждой точки пространства совпадают. Не поможет здесь и наличие наблюдателя, который бы “осмотрел” эти сферы и сформулировал словесно показания своих органов чувств, состоящие в том, что данные сферы нетождественные, наличие такого наблюдателя противоречит тому факту, что в данной вселенной кроме двух сфера ничего нет, а также принципу симметрии. Если мы и допустим существование одного наблюдателя, нам необходимо допустить существование такого же наблюдателя, симметричного ему (таким образом позволяет дополнить свою вселенную Макс Бланк). Суммируя все вышесказанное, данные сферы неразличимы, но не тождественны. Принцип тождественности неразличимых объявляется опровергнутым.
В этой работе я попытаюсь показать, что пример Блэка некорректен, то есть, противоречив. В примере действительно рассмотрены объекты, относительно которых у нас нет никаких оснований предпочесть одну сферу другой, но их нельзя назвать неразличимыми. Мы никак не можем использовать выбор для рассмотрения одной из сфер, не можем утверждать что-то про “первую” сферу (сферу A), а затем про “вторую” (сферу B), так как они, как было показано, неразличимы.
Но есть ли необходимость что-то утверждать о той или иной сфере отдельно от другой? Наша задача — показать, что сферы на самом деле различимы, и данный пример не является примером существования двух неразличимых объектов. У каждой из сфер есть какая-то тройка координат. Да, сферы симметричны. Да, у нас нет никакой информации об этих координатах. Но они существуют. Свойством “иметь координаты (x, y, z)” обладает каждая сфера. И эти свойства не совпадают. В этом смысле, не все свойства сфер совпадают, а значит они не неразличимы.
Сложность состоит в том, что мы не можем выбрать какую-то фиксированную “точку отсчета”, относительно которой по трем осям могли бы ввести координаты. Более того, мы не можем использовать координаты какой-то из сфер, ведь в таком случае мы бы каким-то образом выбрали ее, а значит уже предположили, что сферы различимы, хотя нам это только предстоит доказать. Все эти аргументы так или иначе описываются самим Блэком в его работе из уст одного из собеседников.
На наш взгляд, Блэк в своих попытках показать невозможность различить данные сферы не учитывает, что “быть в какой-то точке бесконечного пространства” не то же самое, что и “быть в конкретной точке бесконечного пространства”. Если мы рассматриваем не математическое представление в формулировке “рассмотрим две произвольные сферы”, а конкретные сущности внутри пространственно-временного континуума, мы вполне можем говорить не просто о двух произвольных точках — центрах сфер, а о двух конкретных точках в рамках этого пространства. Иными словами, мы можем ввести координаты, и симметричность описываемой вселенной не будет противоречить введению координат. В этой конкретике (пусть и без возможности о ней предметно говорить и на нее указать) и будет состоять различие данных сфер. Иными словами, мы рассматриваем не некий класс эквивалентности всех пар симметричных сфер, а конкретное физическое пространство с конкретным расположением этих сфер. То, что у нас нет о нем информации не должно нас смущать, ведь мы никак ее не используем.
Нельзя также согласится с Блэком (с.158) в том, что, если мы скажем “две сферы находятся в разных местах” мы не сказали ничего больше, чем “существуют две сферы”. Действительно, мы можем представить множество сфер вообще без того, чтобы им быть в пространстве (все существующее пространство тождественно пространству этих сфер – прим.) — например, рассмотрим две сферы из множества сфер всех диаметров. Мы можем про них сказать, что они существуют, тем не менее мы вообще ничего не говорим об их местоположении в каком-то едином для них пространстве, его просто нет в таком рассмотрении. Таким образом, сказать про сферы, что они “находятся в разных местах”, значит сказать про них больше, чем то, что они просто существуют. Они существуют в определенном отношении друг к другу. Этот аргумент, к слову, используется у Блэка для опровержения попытки собеседника показать, что разное свойство этих сфер состоит в их местоположении.
Возвращаясь к рассуждению о координатах, имея конкретное пространство с расположенными в нем сферами, мы можем выбрать любую точку (ее выбор никак не связан с нашими знаниями о сферах) и относительно нее ввести три оси координат с помощью любого базиса. В этих координатах мы получим некоторый набор из трех чисел для каждой сферы. Тем самым, так как они не могут совпадать (по условию у нас две сферы, а не одна), то сферы обладают разными свойствами, то есть обладают разными координатами, следовательно пример не рассматривает неразличимые сферы. Причем, точка, относительно которой мы вводим координаты может быть абсолютно любой, включая точку, относительно которой мы имеем симметрию, абсолютно любая точка даст разные координаты у сфер хотя бы по одной из осей.
Стоит, однако, оговорится, что неразличимость, о которой говорится выше — обладание одними и теми же свойствами, по-видимому, нарушается в примере. Однако неразличимость, понимаемая другим, нестрогим, образом, как невозможность предъявить способ или алгоритм выделения одного объекта от другого, в данном случае имеет место быть. Это не одно и то же, хотя в своем описании Блэк почему-то смешивает эти понятия. Проиллюстрируем это на примере вселенной, в котором есть наблюдатель с “видом сверху” (он не может опускаться на расстояние менее метра до поверхности) и есть два одинаковых непроницаемых перевернутых стакана, лежащих на поверхности, в одном из которых есть монета. Мы не можем отличить стакан с монетой от стакана без монеты, если у нас нет к ним прямого доступа. Вместе с тем, относительные свойства этих стаканов разные, при том, что мы не можем указать, какой стакан обладает свойством “закрывать собой монету”.
Есть другой момент, который использует Блэк в своем рассуждении, хотя и не указывает это явно. Рассматриваемый Блэком мир — бесконечный. А что, если мы попробуем переформулировать данное утверждение, используя конечные сущности. Допустим, у нас есть пространство 100×100 и на нем отмечены две симметричные относительно центра ячейки. Вся логика, которую Блэк использует будет так же валидной в этой вселенной. Симметрия, отсутствие наблюдателя, отсутствие возможности выделить одну или другую ячейку. Вместе с тем, здесь уже совсем очевидно, что если мы просто пересчитаем наши ячейки любым образом, то номера у каждой ячейки будут разные. Безусловно, такую нумерацию можно произвести самым разным образом, но нам это не важно. Единственное, что нам важно — что номера будут разные. И этот факт уже явно указывает на то, что свойство “иметь номер N” при перечислении и обеих ячеек всегда будет разным, независимо от того, как мы будем считать. Не существует пересчета, сопоставляющего выбранным ячейкам одинаковые номера.
Нас, как и в случае со сферами может пугать то, что мы не имеем выделенного способа пересчета, они все ничем не выделяются, но учитывая, что свойство для каждой ячейки иметь номер не тот, что у другой — инвариантно относительно любого способа пересчета, то это не должно нас смущать. Заметим, что, рассматривая случай сфер, состоящих из материальных частиц, мы погружаемся в рассуждения о мыслимом физическом мире. Но может ли такой мысленный мир быть бесконечным? Может ли он быть непрерывным, а не дискретным? Это все открытые вопросы.
Итого, мы показали, что при рассмотрении вселенной, состоящей из двух сфер, в силу ее рассмотрения как вселенной физической, можно найти свойство, которое у каждой из сфер будет разным. Следовательно, данный якобы контрпример к принципу тождественности неразличимых ничего не показывает, так как не рассматривает неразличимые объекты. Он содержит в себе противоречие (сферы неразличимы по условию, вместе с тем у них есть свойство, которое разное у каждой из сфер) и, следовательно, не является логически возможным. Мы также провели грань между объектами, которые нельзя различить в смысле нахождения способа их различения и объектами, которые обладают разными свойствами. Данный пример не удовлетворяет именно последнему смыслу неразличимости, тогда как в случае способа, здесь, как нам представляется, такой способ отличить одну сферу от другой найти невозможно.
На основе работы: Max Black, The identity of indiscernibles’, MIND A QUARTERLY REVIEWOFPSYCHOLOGY AND PHILOSOPHY Vol. LXI No 242 (1952), 153-64.
Отдельно благодарен профессору Ричарду Суинберну, а также Ксении Четаевой за помощь в прояснении некоторых тонкостей данной работы.
Michael GREENZAID
